第三章 代数初步知识
一、用字母表示数
1、用字母表示数的意义和作用用字母表示数，可以把数量关系简明的表达出来，同时
也可以表示运算的结果。用字母表示数是代数的基本特点。既简单明了，又能表达数量
关系的一般规律。
2、用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式
⑴常见的数量关系
①路程用 s 表示，速度 v 用表示，时间用 t 表示，三者之间的关系：
s=vtv=s/tt=s/v
②总价用 a 表示，单价用 b 表示，数量用 c 表示，三者之间的关系:a=bcb=a/cc=a/b
⑵运算定律和性质
加法交换律：a+b=b+a加法结合律：（a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：（ab)c=a(bc)乘
法分配律：（a+b)c=ac+bc 减法的性质：a-(b+c)=a-b-c
⑶用字母表示几何形体的公式
①长方形的长用 a 表示，宽用 b 表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。
c=2(a+b)s=ab
②正方形的边长 a 用表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。
c=4as=a2
③平行四边形的底 a 用表示，高用 h 表示，面积用 s 表示。
s=ah
④三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面积用 s 表示。
⑤s=ah/2
梯形的上底用
a 表示，下底
b 用表示，高用
h 表示，中位线用
m 表示，面积用 s 表示。
s=(a+b)h/2s=mh
⑥圆的半径用 r 表示，直径用 d 表示，周长用 c 表示，面积用 s 表示。
c=∏d=2∏rs=∏r2
⑦扇形的半径用 r 表示，n 表示圆心角的度数，面积用 s 表示。
s=∏nr2/360⑧长方体的长用 a 表示，宽用 b 表示，高用 h 表示，表面积用 s 表示，体积用 v 表示。
v=shs=2(ab+ah+bh)v=abh
⑨正方体的棱长用 a 表示，底面周长 c 用表示，底面积用 s 表示，体积用 v 表
示.s=6a2v=a3
⑩圆柱的高用 h 表示，底面周长用 c 表示，底面积用 s 表示，体积用 v 表示.
s 侧=ch
s 表=s 侧+2s 底 v=sh
?圆锥的高用 h 表示，底面积用 s 表示，体积用 v 表示.v=sh/3
3、用字母表示数的写法
①数字和字母、字母和字母相乘时，乘号可以记作“.”，或者省略不写；数与数相乘，
乘号不能省略。
②当“1”与任何字母相乘时，“1”省略不写。
③数字和字母相乘时，将数字写在字母前面。
④在一个问题中，同一个字母表示同一个量，不同的量用不同的字母表示。
⑤用含有字母的式子表示问题的答案时，除数一般写成分母，如果式子中有加号或者减
号，要先用括号把含字母的式子括起来，再在括号后面写上单位的名称。
4、将数值代入式子求值
①把具体的数代入式子求值时，要注意书写格式：先写出字母等于几，然后写出原式，
再把数代入式子求值。字母表示的是数，后面不写单位名称。
②同一个式子，式子中所含字母取不同的数值，那么所求出的式子的值也不相同。
二、简易方程
1、等式：表示相等关系的式子叫等式。2、方程：含有未知数的等式叫做方程。
判断一个式子是不是方程应具备两个条件：一是含有未知数；二是等式。所以，方程一
定是等式，但等式不一定是方程。
方程和算术式不同。算术式是一个式子，它由运算符号和已知数组成，它表示未知数。
方程是一个等式，
在方程里的未知数可以参加运算，并且只有当未知数为特定的数值时，方程才成立。
3、方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
4、解方程：求方程的解的过程叫做解方程。
5、解方程的方法
⑴直接运用四则运算中各部分之间的关系去解。如 x-8=12
加数+加数=和一个加数=和－另一个加数被减数－减数=差减数=被减数－差被减数=
差＋减数被乘数×乘数=积一个因数=积÷另一个因数被除数÷除数=商除数=被除数÷
商被除数=除数×商
⑵先把含有未知数 x 的项看作一个数，然后再解。如 3x+20=41，先把 3x 看作一个数，
然后再解。
⑶按四则运算顺序先计算，使方程变形，然后再解。如 2.5×4-x=4.2，要先求出 2.5×4
的积，使方
程变形为 10-x=4.2，然后再解。
⑷利用运算定律或性质，使方程变形，然后再解。如：2.2x＋7.8x＝20，先利用运算定
律或性质使方程变形为（2.2＋7.8）x＝20，然后计算括号里面使方程变形为 10x＝20，
最后再解。
四、列方程解应用题
在列方程解文字题时，如果题中要求的未知数已经用字母表示，解答时就不需要写设，
否则首先应将所求的未知数设为 x。1、列方程解应用题的意义
*用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。
2、列方程解答应用题的步骤
①弄清题意，确定未知数并用 x 表示；
②找出题中的数量之间的相等关系；
③列方程，解方程；
④检查或验算，写出答案。
3、列方程解应用题的方法
①综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出
它们之间的等量关系，进而列出方程。这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向
是从已知到未知。
②分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）
和所设的未知数（量）列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维
过程，其思考方向是从未知到已知。
4、列方程解应用题的范围小学范围内常用方程解的应用题：a 一般应用题；
b 和倍、差倍问题；
c 几何形体的周长、面积、体积计算；
d 分数、百分数应用题；
e 比和比例应用题。
五、比和比例
1、比的意义和性质
⑴比的意义两个数相除又叫做两个数的比。“：”是比号，读作“比”。比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后
项所得的商，叫做比值。同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值
相当于商。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。比的后项不
能是零。
根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数
值。
⑵比的性质
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0 除外），比值不变，这叫做比的基本性
质。
⑶求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整
数，也可以是小数或分数。根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果
必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。
⑷比例尺图上距离：实际距离=比例尺
要求会求比例尺；已知图上距离和比例尺求实际距离；已知实际距离和比例尺求图上距
离。线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距
离。
⑸按比例分配在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
2、比例的意义和性质
⑴比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的四个数，叫做比例的项。两
端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
⑵比例的性质
在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。⑶解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中
的另外一个未知项。求比例中的未知项，叫做解比例。
3、正比例和反比例
⑴成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中
相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系
叫做正比例关系。
用字母表示 y/x=k(一定）
⑵成反比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中
相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示 x×y=k(一定)
4、比和比例应用题
⑴在工业生产和日常生活中，常常要把一个数量按照一定的比例来进行分配，这种分配
方法通常叫“按比例分配”。
⑵按比例分配的有关习题，在解答时，要善于找准分配的总量和分配的比，然后把分配
的比转化成
分数或份数来进行解答
⑶正、反比例应用题的解题策略
①审题，找出题中相关联的两个量
②分析，判断题中相关联的两个量是成正比例关系还是成反比例关系。
③设未知数，列比例式
④解比例式
⑤检验，写答语第四章 几何的初步知识
一、线和角
1、线
⑴直线直线没有端点；长度无限；过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
⑵射线射线只有一个端点；长度无限。
⑶线段线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中，线段为最短。
⑷平行线
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线之间的垂线长度都相等。
⑸垂线
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂
线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
2、角
⑴从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做
角的边。
⑵角的分类
①锐角：小于 90°的角叫做锐角。
②
③直角：等于
钝角：大于 90°的角叫做直角。90°而小于 180°的角叫做钝角。
④
⑤平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。平角
周角：角的一边旋转一周，与另一边重合。周角是 360°。180°。
二、平面图形
1、三角形
⑴特征：由三条线段围成的图形；内角和是 180 度；三角形具有稳定性；从三角形的
一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，一个三角形
有三条高。
⑵计算公式：s=ah/2
⑶分类
①按角分
A、锐角三角形：三个角都是锐角。
B、直角三角形：有一个角是直角。等腰三角形的两个锐角各为 45 度，它有一条对称
轴。
C、钝角三角形：有一个角是钝角。
②按边分
A、不等边三角形：三条边长度不相等。B、等腰三角形：有两条边长度相等；两个底
角相等；有一条对称轴。
C、等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是 60 度；有三条对称轴。
2、四边形
⑴特征：①四边形是由四条线段围成的图形。
②任意四边形的内角和是 360 度。
③只有一组对边平行的四边形叫梯形。
④两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，它容易变形。长方形、正方形是特殊的平
行四边形；正方形是特殊的长方形。
⑵分类
①长方形
A、特征：对边相等，4 个角都是直角的四边形。有两条对称轴。B、计算公式：
c=2(a+b)s=ab
②正方形
A、特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。有 4 条对称轴。
B、计算公式：c=4as=a2
③平行四边形
A、特征：两组对边分别平行的四边形；相对的边平行且相等；对角相等；相邻的两个
角的度数之和为 180 度；平行四边形容易变形。
B、计算公式：s=ah
④梯形 A、特征：只有一组对边平行的四边形；中位线等于上下底和的一半；等腰梯形
有一条对称轴。B、计算公式：s=(a+b)h/2=mh
3、圆
⑴圆的认识圆是平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。一般用字母 o 表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。一般用 r 表示。在同一个圆里，有无
数条半径，每条半径的长度都相等。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用 d 表示。同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。同圆或等圆的直径都相等同
一个圆里，直径等于两个半径的长度，即 d=2r。圆的大小由半径决定。圆有无数条对
称轴。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
⑵圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把有针尖的一只脚固定
在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
⑶圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。用字母∏表示。
⑷圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。
⑸计算公式：d=2rr=d/2c=∏dc=2∏rs=∏r2
4、扇形
⑴扇形的认识
一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。（半圆与直径的组合也是
扇形）。显然，它是由圆周的一部分与它所对应的圆心角围成。
圆上 AB 两点之间的部分叫做弧，读作“弧 AB”。顶点在圆心的角叫做圆心角。在同
一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。扇形有一条对称轴，是轴对称
图形。
⑵计算公式：s=n∏r2/360
5、环形
⑴特征：由两个半径不相等的同心圆相减而成，有无数条对称轴。
⑵计算公式：s=∏(R2-r2）
6、轴对称图形
⑴特征
①如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图
形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。②线段、角、等腰三角形、长方形、正方形等都是轴对称图形，他们的对称轴条数不等：
正方形有 4 条对称轴，长方形有 2 条对称轴。
等腰三角形有 2 条对称轴，等边三角形有 3 条对称轴。等腰梯形有一条对称轴，圆有无
数条对称轴。
菱形有 4 条对称轴，扇形有一条对称轴。
三、立体图形
（一）长方体
1、特征六个面都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。相对的面面积相等，12
条棱相对的 4 条棱长度相等。
有 8 个顶点。相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长、宽、高。两个面相交的边叫
做棱。
三条棱相交的点叫做顶点。把长方体放在桌面上，最多只能看到三个面。长方体或者正
方体 6 个面的总面积，叫做它的表面积。
2、计算公式：s=2(ab+ah+bh)V=shV=abh
（二）正方体
1、特征六个面都是正方形六个面的面积相等 12 条棱，棱长都相等有 8 个顶点
正方体可以看作特殊的长方体
2、计算公式：S 表=6a2v=a3
（三）圆柱1、圆柱的认识圆柱的上下两个面叫做底面。圆柱有一个曲面叫做侧面。圆柱两个底面
之间的距离叫做高。
进一法：实际中，使用的材料都要比计算的结果多一些，因此，要保留数的时候，省略
的位上的是 4 或者比 4 小，都要向前一位进 1。这种取近似值的方法叫做进一法。
2、计算公式：s 侧=chs 表=s 侧+s 底×2v=sh/3
（四）圆锥
1、圆锥的认识圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的
距离是圆锥的高。
测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地
量出平板和底面之间的距离。
把圆锥的侧面展开得到一个扇形。
2、计算公式：v=sh/3
（五）球
1、认识球的表面是一个曲面，这个曲面叫做球面。球和圆类似，也有一个球心，用 O
表示。
从球心到球面上任意一点的线段叫做球的半径，用 r 表示，每条半径都相等。通过球心
并且两端都在球面上的线段，叫做球的直径，用 d 表示,每条直径都相等,直径的长度等
于半径的 2 倍，即 d=2r。
2、计算公式：d=2r
四、周长和面积
1、平面图形一周的长度叫做周长。2、平面图形或物体表面的大小叫做面积。
3、常见图形的周长和面积计算公式
小学数学图形计算公式
1、正方形（C：周长 S：面积 a：边长）周长＝边长×4C=4a
面积=边长×边长 S=a×a
2、正方体（V:体积 a:棱长）
表面积=棱长×棱长×6S 表=a×a×6
体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
3、长方形（C：周长 S：面积 a：边长）
周长=(长+宽)×2C=2(a+b)
面积=长×宽 S=ab
4、长方体（V:体积 s:面积 a:长 b:宽 h:高）(1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×
2S=2(ab+ah+bh)(2)体积=长×宽×高 V=abh
5、三角形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高÷2s=ah÷2
三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高
6、平行四边形（s：面积 a：底 h：高）面积=底×高 s=ah
7、梯形（s：面积 a：上底 b：下底 h：高）
面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷2
8、圆形（S：面积 C：周长лd=直径 r=半径）
(1)周长=直径×л=2×л×半径 C=лd=2лr(2)面积=半径×半径×л
9、圆柱体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径 c:底面周长）(1)侧面积=底面周长×高=ch(2лr 或лd)(2)表面积=侧面积+底面积×2
(3)体积=底面积×高
（4）体积＝侧面积÷2×半径
0、圆锥体（v:体积 h:高 s：底面积 r:底面半径）体积=底面积×高÷3
